复合函数定义域陷阱迷局

$[2, 7]$

由题意得$\begin{cases} 1 \leq x \leq 9 \\ 1 \leq x^2 \leq 9 \end{cases}$，则$1 \leq x \leq 3$，
即$g(x) = f^2(x) + f(x^2)$的定义域为$[1, 3]$，
故$g(x) = f^2(x) + f(x^2) $
$= (1 + \log_3 x)^2 + 1 + \log_3 x^2 $
$= (\log_3 x)^2 + 4\log_3 x + 2$，
令$\log_3 x = t,(t \in [0, 1])$，
则$y = t^2 + 4t + 2 = (t + 2)^2 – 2$，
函数$y = (t + 2)^2 – 2$在$[0, 1]$上单调递增，
故$y \in [2, 7]$，即函数$y = g(x)$的值域为$[2, 7]$．

故答案为：$[2, 7]$.