2025届高考综合改革适应性演练数学试卷（八省联考）第8题

B

【题目】已知函数\(f(x) = x|x – a| – 2a^2\)，若当\(x > 2\)时，\(f(x) > 0\)，则\(a\)的取值范围是（  ）
A. \((-\infty, 1]\)
B. \([-2, 1]\)
C. \([-1, 2]\)
D. \([-1, +\infty)\)

【答案】B
【解析】当\(a > 2\)，\(x > 2\)时，
\(f(x) = x|x – a| – 2a^2 = \begin{cases} x^2 – ax – 2a^2, x \geq a \\ -x^2 + ax – 2a^2, 2 < x < a \end{cases}\)，
当\(2 < x < a\)时，\(f(x) = -x^2 + ax – 2a^2\)，
此时\(\Delta = a^2 – 4 \times 2a^2 = -7a^2 < 0\)，
所以\(f(x) < 0\)，不满足当\(x > 2\)时，\(f(x) > 0\)，故\(a > 2\)不符合题意；
当\(0 < a \leq 2\)，\(x > 2\)时，
\(f(x) = x|x – a| – 2a^2 = x^2 – ax – 2a^2 = (x – 2a)(x + a) > 0\)，
解得\(x > 2a\)，
由于\(x > 2\)时，\(f(x) > 0\)，故\(2a \leq 2\)，解得\(0 < a \leq 1\)；
当\(a = 0\)，\(x > 2\)时，
\(f(x) = x^2 > 0\)恒成立，符合题意；
当\(a < 0\)，\(x > 2\)时，
\(f(x) = x|x – a| – 2a^2 = x^2 – ax – 2a^2 = (x – 2a)(x + a) > 0\)，
解得\(x > -a\)，
由于\(x > 2\)时，\(f(x) > 0\)，故\(-a \leq 2\)，解得\(-2 \leq a < 0\).
综上\(-2 \leq a \leq 1\).
故选：B.