25~26高二上·安徽县中联盟12月质检·第14题

$\frac{4}{3}$

如图，以$A$为坐标原点，$AB, AD, AA_1$所在直线分别为$x, y, z$轴建立空间直角坐标系，

则$A(0, 0, 0)$，$C(2, 2, 0)$，$D_1(0, 2, 2)$，
设$P(2a, 0, 0)$，$a \in (0, 1)$，三棱锥$P – ACD_1$的外接球的球心为$O(x, y, z)$，
则$\begin{cases} OA = OC \ OC = OD_1 \ OA = OP \end{cases}$，
即$\begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{(x – 2)^2 + (y – 2)^2 + z^2} \ \sqrt{(x – 2)^2 + (y – 2)^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + (y – 2)^2 + (z – 2)^2} \ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{(x – 2a)^2 + y^2 + z^2} \end{cases}$，
解得$\begin{cases} x = a \ y = 2 – a \ z = a \end{cases}$，即$O(a, 2 – a, a)$，
可得外接球的半径$R = OA = \sqrt{a^2 + (2 – a)^2 + a^2}$$= \sqrt{3\left(a – \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{8}{3}} \geq \frac{2\sqrt{6}}{3}$，
当且仅当$a = \frac{2}{3}$时，等号成立，
所以当三棱锥$P – ACD_1$的外接球的表面积最小时，$AP$的长为$2a = \frac{4}{3}$．

故答案为：$\frac{4}{3}$.