吉林省长春市2026届高三质量监测(一)数学试题

一、单选题
1. 已知集合$A=\{x|3 < x < 7\}$，$B=\{x|2 < x < 6\}$，则$A\cap B=$（ ）
A．$\{x|2 < x < 7\}$
B．$\{x|3 < x < 6\}$
C．$\{x|2 < x < 3\}$
D．$\{x|6 < x < 7\}$

2. 已知向量$\vec{a}=(4,1)$，$\vec{b}=(2,m)$，$\vec{a}\perp \vec{b}$，则$m=$（ ）
A．$-\frac{1}{4}$
B．$-1$
C．$-4$
D．$-8$

3. 复数$\frac{2\text{i}}{1+\text{i}}$的虚部是（ ）
A．$-1$
B．$1$
C．$-\frac{1}{2}$
D．$\frac{1}{2}$

4. 记$S_{n}$为公比$q\neq 1$的等比数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，若首项$a_{4}=\frac{1}{4}$，$S_{3}=\frac{3}{4}$，则$a_{5}=$（ ）
A．$2$
B．$1$
C．$-\frac{1}{2}$
D．$-1$

5. 若$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{3}$，则$\sin 2x=$（ ）
A．$\frac{1}{3}$
B．$\frac{4}{9}$
C．$\frac{5}{9}$
D．$\frac{2}{3}$

6. 已知$\log_{2}\left[\log_{3}\left(\log_{5}x\right)\right]=0$，则$x=$（ ）
A．$8$
B．$27$
C．$125$
D．$243$
7. 如图，在平行六面体$ABCD – A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，若$\overrightarrow{BD_{1}}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+z\overrightarrow{AA_{1}}$，则$(x,y,z)=$（ ）
A．$(-1,1,1)$
B．$(1,-1,1)$
C．$(1,1,-1)$
D．$(-1,-1,-1)$

8. 已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，$f(x)+f(x – 2)=0$，且$f(-1)=2$，则$f(1)+f(2)+\cdots +f(2026)=$（ ）
A．$4$
B．$2$
C．$0$
D．$-2$

二、多选题
9. 已知函数$f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$，则（ ）
A．函数$f(x)$的最小正周期为$\pi$
B．函数$f(x)$在$\left(0,\frac{\pi}{4}\right)$上单调递减
C．函数$f(x)$的图象关于点$\left(\frac{\pi}{6},0\right)$中心对称
D．将函数$f(x)$的图象向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位得到的函数为奇函数

10．已知抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)的焦点\(F(1,0)\)，\(A\)，\(B\)为抛物线上的两个动点，\(M\)为线段\(AB\)的中点，\(N(3,2)\)，则（ ）
A．\(p=2\)
B．若\(|AF|+|BF|=10\)，则点\(M\)到准线的距离为4
C．\(|AN|+|AF|\)的最小值为4
D．若\(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}\)，则\(|AB|=\frac{9}{2}\)

11．已知正方体\(ABCD – A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的棱长为2，点\(P\)是侧面\(BCC_{1}B_{1}\)上的一个动点（含边界），点\(E\)和点\(F\)分别是棱\(CC_{1}\)和\(AA_{1}\)的中点，则（ ）

A．平面\(D_{1}EF\)截该正方体所得的截面图形是正方形
B．平面\(D_{1}EF \perp\)平面\(BDD_{1}B_{1}\)
C．若\(|AP|=\sqrt{5}\)，则点\(P\)的轨迹长度为\(\frac{\pi}{2}\)
D．若点\(P\)在\(BB_{1}\)上，则\(|PD|+|PE|\)的最小值为\(\sqrt{17}\)

三、填空题
12．过\(A(0,0)\)，\(B(1,\sqrt{3})\)，\(C(4,0)\)三点圆的方程为\(\underline{\quad\quad}\)．

13．若函数\(f(x)=ae^{x}-x\)，且\((x – 2)f'(x)\geq0\)恒成立，则实数\(a=\underline{\quad\quad}\)．

14．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆\(M:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}\)、\(F_{2}\)，若从\(M\)的右焦点\(F_{2}\)发出的光线经过\(M\)上的点\(A\)和点\(B\)反射后，满足\(AB \perp AD\)，且\(\cos \angle ABC=\frac{3}{5}\)，则\(M\)的离心率为\(\underline{\quad\quad}\)．

四、解答题
15．已知椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\(\frac{1}{2}\)，右焦点\(F(1,0)\)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过\(F\)且倾斜角为\(45^{\circ}\)的直线\(l\)与椭圆相交于\(A\)，\(B\)两点，求\(|AB|\).

16．在\(\triangle ABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，若\(\cos B = -\frac{1}{3}\)，且\(\triangle ABC\)的面积为\(\frac{5\sqrt{2}}{2}\)．
(1)求\(ac\)的值；
(2)若\(b\sin C = 2\sqrt{2}\)，求\(AC\)边上的高\(BD\)．

17．已知\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，若\(S_{2}=6\)，\(S_{6}=42\)，且数列\(\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}\)为等差数列．
(1)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
(2)若数列\(\{b_{n}\}\)的首项为\(2\)，且\(\frac{b_{n+1}}{b_{n}} = \frac{a_{n}}{a_{n+2}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

18．如图，底面为锐角三角形的直棱柱\(ABC – A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(AC = BC\)，\(AA_{1}=AB\)，点\(D\)在线段\(AB_{1}\)上，且满足\(\overrightarrow{AD} = \lambda\overrightarrow{AB_{1}}\)，点\(E\)为\(BB_{1}\)的中点．
(1)当\(\lambda = \frac{3}{4}\)时，证明：\(DE \parallel\)平面\(A_{1}BC\)；
(2)若平面\(AA_{1}C_{1}\)与平面\(AB_{1}C_{1}\)所成角的余弦值为\(\frac{\sqrt{15}}{15}\)．
（i）求异面直线\(AB_{1}\)与\(CE\)所成角的大小；
（ii）已知直线\(CD\)与平面\(AB_{1}C_{1}\)所成角的正弦值为\(\frac{4}{5}\)，求\(\lambda\)的值．

19．已知函数\(f(x) = x\ln x\)．
(1)求\(f(x)\)在\(x = 1\)处的切线方程；
(2)若\(\forall x \in (0,\pi)\)，使\(f(x + 1) + a\sin x > 0\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围；
(3)证明：\(\sum_{i = 1}^{n}\frac{i}{i + 1}\sin\frac{1}{i} < \ln(n + 1)\)．