25~26高一上·浙江杭州学军中学月考·第8题

B

【题目】已知函数$f(x)$是定义在$\left( \frac{1}{2},+\infty \right)$上的单调函数，且$f(x)\cdot f\left( f(x)+\frac{1}{x} \right)=\frac{1}{2}$，则$f(2)$的值为（ ）
A．$-1$
B．$\frac{1}{2}$
C．$1$
D．$2$

【答案】B

【解析】设$f(2)=t$，由题意可知$t \neq 0$，
因为$f(x)\cdot f\left( f(x)+\frac{1}{x} \right)=\frac{1}{2}$，
令$x=2$，则$f(2)\cdot f\left( f(2)+\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}$，
即$t\cdot f\left( t+\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}$，所以$f\left( t+\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2t}$，
因为函数$f(x)$的定义域为$\left( \frac{1}{2},+\infty \right)$，
所以$t+\frac{1}{2}>\frac{1}{2}$，即$t>0$，
令$x=t+\frac{1}{2}$，
则$f\left( t+\frac{1}{2} \right)\cdot f\left( f\left( t+\frac{1}{2} \right)+\frac{1}{t+\frac{1}{2}} \right)=\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2t}\cdot f\left( \frac{1}{2t}+\frac{2}{2t+1} \right)=\frac{1}{2}$，
所以$f\left( \frac{1}{2t}+\frac{2}{2t+1} \right)=t=f(2)$，
又$f(x)$是定义在$\left( \frac{1}{2},+\infty \right)$上的单调函数，
所以$\frac{1}{2t}+\frac{2}{2t+1}=2$，
整理得$8t^2 – 2t – 1=(4t+1)(2t-1)=0$，
解得$t=\frac{1}{2}$或$t=-\frac{1}{4}$（舍）．

故选：B.