25~26高一上·湖南长郡中学期末·第8题

C

【题目】已知$\ln a – 2e^b = b – 2a$，若$a \in [2, 3]$，则（ ）
A. $ab \in [\ln2, \ln3]$
B. $ab \in [2\ln2, 3\ln2]$
C. $ab \in [2\ln2, 3\ln3]$
D. $ab \in [2\ln2, 4\ln3]$

【答案】C

【解析】因为$\ln a – 2e^b = b – 2a$，
所以$2a + \ln a = 2e^b + \ln e^b$，

令$f(x) = 2x + \ln x$，则$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增，
所以$a = e^b$，所以$b = \ln a$，
所以$ab = a\ln a$，
令$g(x) = x\ln x$，取$2 \leq x_1 < x_2 \leq 3$，
所以$0 < \ln x_1 < \ln x_2$，
则$g(x_1) – g(x_2) $$= x_1\ln x_1 – x_2\ln x_2 < 0$，

即$g(x_1) < g(x_2)$，
所以$g(x)$在$[2, 3]$上单调递增，
则$g(2) \leq g(x) \leq g(3)$
所以$a\ln a \in [2\ln2, 3\ln3]$，
所以$ab \in [2\ln2, 3\ln3]$。

故选：C.