25~26高三上·深圳中学二测·第14题

$\left( 0, \frac{3}{2\mathrm{e}^2} \right)$

【题目】函数$f(x) = x(\ln x – ax) – \frac{\mathrm{e}^2}{2}$有两个零点，则实数$a$的取值范围为_______．

【答案】$\left( 0, \frac{3}{2\mathrm{e}^2} \right)$

【解析】 $f(x)$有两个零点，即$y = a$与$y = \frac{\ln x}{x} – \frac{\mathrm{e}^2}{2x^2}$有两个交点，
令$g(x) = \frac{\ln x}{x} – \frac{\mathrm{e}^2}{2x^2}$，则
$g'(x) = \frac{x – x\ln x + \mathrm{e}^2}{x^3}$，
令$h(x) = x – x\ln x + \mathrm{e}^2$，则$h'(x) = -\ln x$，
故$h(x)$在$(0,1)$上单调递增，$(1,+\infty)$上单调递减，
而$0 < x \leq 1$时显然有$h(x) > 0$，
又$h(\mathrm{e}^2) = \mathrm{e}^2 – 2\mathrm{e}^2 + \mathrm{e}^2 = 0$，
故$g(x)$在$(0,\mathrm{e}^2)$上单调递增，$(\mathrm{e}^2,+\infty)$上单调递减.
而$g(\mathrm{e}^2) = \frac{3}{2\mathrm{e}^2}$，当$x \to 0^+$，$g(x) \to -\infty$，当$x \to +\infty$时，$g(x) \to 0^+$，
故实数$a$的取值范围为$\left( 0, \frac{3}{2\mathrm{e}^2} \right)$．