25~26高一上·辽宁协作校联考12月质检·第14题

$3$

【题目】已知$a > 0$，$b > 1$，$a\mathrm{e}^a = a + 3$，$b^3\ln b = \ln b + 1$，则$a(b^3 – 1)=$_______．

【答案】$3$

【解析】因为$a\mathrm{e}^a = a + 3$，显然$a \neq 0$，
所以$\mathrm{e}^a – \frac{3}{a} – 1 = 0$，
又$b^3\ln b = \ln b + 1$，显然$\ln b > 0$，
所以$b^3 – \frac{1}{\ln b} – 1 = b^3 – \frac{3}{3\ln b} – 1 $$= \mathrm{e}^{\ln b^3} – \frac{3}{\ln b^3} – 1 = 0$，

令函数$f(x) = \mathrm{e}^x – \frac{3}{x} – 1(x > 0)$，
则$f(a) = f(\ln b^3) = 0$，
易知$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增，
$f(1) = \mathrm{e} – 4 < 0$， $f(2) = \mathrm{e}^2 – \frac{5}{2} > 0$，
所以$f(x)$在$(0, +\infty)$上有唯一的零点，
所以$a = \ln b^3$，即$b^3 = \mathrm{e}^a$，
所以$a(b^3 – 1) = a\mathrm{e}^a – a = 3$．

故答案为：$3$．