25~26高三上·四川巴中一诊·第14题

$(-\infty, 1]$

【题目】若不等式$e^{x^2 – x – a} – \ln(x – 1) \ge \ln x + a$恒成立，则$a$的取值范围为______.

【答案】$(-\infty, 1]$

【解析】$e^{x^2 – x – a} – \ln(x – 1) \ge \ln x + a$左右两边同时加$x^2 – x – a$，并将$\ln(x – 1)$移项得：
$e^{x^2 – x – a} + x^2 – x – a \ge \ln(x – 1) + \ln x + x^2 – x$，

整理得$e^{x^2 – x – a} + x^2 – x – a \ge e^{\ln(x^2 – x)} + \ln(x^2 – x)$.

设$f(x) = e^x + x$，$f'(x) = e^x + 1 > 0$，故$f(x)$在$\mathbb{R}$上单调递增，
则原不等式可化为$f(x^2 – x – a) \ge f(\ln(x^2 – x))$，

所以$x^2 – x – a \ge \ln(x^2 – x)$，
整理得$x^2 – x – \ln(x^2 – x) \ge a$.

令$t = x^2 – x$，$(t > 0)$，设$g(t) = t – \ln t$，$(t > 0)$，
则$g'(t) = 1 – \dfrac{1}{t} = \dfrac{t – 1}{t}$，令$g'(t) = 0$，则$t = 1$.

故当$t \in (0, 1)$时，$g'(t) < 0$；当$t \in (1, +\infty)$时，$g'(t) > 0$，
所以$g(t)$在$(0, 1)$上单调递减，在$(1, +\infty)$上单调递增，

所以$g(t) \ge g(1) = 1$.

对方程$x^2 – x = 1$，$\Delta = (-1)^2 – 4 \times 1 \times (-1) = 5 > 0$，故存在实数$x$使$t = x^2 – x = 1$成立，

所以$a \le 1$，即$a \in (-\infty, 1]$.

故答案为：$(-\infty, 1]$.