25~26高三上·安徽皖南八校联考·第14题

$-\frac{1}{2}$

$a_n = a_1 + (n – 1)d$$= a_1 + \frac{2\pi}{3}(n – 1)$，
则$\cos a_n = \cos\left[a_1 + \frac{2\pi}{3}(n – 1)\right]$$= \cos\left(\frac{2\pi}{3}n + a_1 – \frac{2\pi}{3}\right)$，其周期为$\frac{2\pi}{\frac{2\pi}{3}} = 3$，
而$n \in N$，即$\cos a_n$最多3个不同取值， 由题可知集合$A = {x|x = \cos a_n, n \in \mathbf{N}^}$有且仅有两个元素，$A = {x_1, x_2}$，
则在$\cos a_n, \cos a_{n+1}, \cos a_{n+2}$中，$\cos a_n = \cos a_{n+1} \neq \cos a_{n+2}$或$\cos a_n \neq \cos a_{n+1} = \cos a_{n+2}$，
或$\cos a_n = \cos a_{n+2} \neq \cos a_{n+1}$，
又$\cos a_n = \cos a_{n+3}$，即$\cos a_{n+3} = \cos a_{n+2} \neq \cos a_{n+1}$，一定会有相邻的两项相等，
设这两项分别为$\cos\theta$，$\cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)$，
于是有$\cos\theta = \cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)$，
即有$\theta + \left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) = 2k\pi, k \in \mathbf{Z}$，
解得$\theta = k\pi – \frac{\pi}{3}, k \in \mathbf{Z}$，
不相等的两项为$\cos\theta$，$\cos\left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right)$，
故$x_1x_2 = \cos\left(k\pi – \frac{\pi}{3}\right)\cos\left[\left(k\pi – \frac{\pi}{3}\right) + \frac{4\pi}{3}\right]$$= -\cos\left(k\pi – \frac{\pi}{3}\right)\cos k\pi$$= -\cos^2 k\pi\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$．

故答案为：$-\frac{1}{2}$.