25~26高三下·重庆一中3月月考·第8题

B

因为函数$g(x) = k(x – 1)\mathrm{e}^x$为“可旋转函数”，

所以关于$x$的方程$k(x – 1)\mathrm{e}^x = x + t$对任意的$t \in \mathbb{R}$至多只有一个解，

即方程$k(x – 1)\mathrm{e}^x – x = t$至多只有一个解，

即曲线$h(x) = k(x – 1)\mathrm{e}^x – x$与直线$y = t$至多只有一个交点，

所以函数$h(x) = k(x – 1)\mathrm{e}^x – x$在定义域内单调递增或单调递减.

又$h'(x) = kx\mathrm{e}^x – 1$，所以$h'(x) = kx\mathrm{e}^x – 1 \ge 0$或$h'(x) = kx\mathrm{e}^x – 1 \le 0$恒成立.

因为$h'(0) = -1 < 0$，故$h'(x) = kx\mathrm{e}^x – 1 \ge 0$不可能恒成立，

所以$h'(x) = kx\mathrm{e}^x – 1 \le 0$恒成立.

当$k = 0$时，$h'(x) = -1 \le 0$恒成立；

当$k > 0$时，$h’\left(\dfrac{1}{k}\right) = \mathrm{e}^{\frac{1}{k}} – 1 > 0$，不满足题意；

当$k < 0$时，$x\mathrm{e}^x \ge \dfrac{1}{k}$恒成立.

设$\varphi(x) = x\mathrm{e}^x$，导函数$\varphi'(x) = (x + 1)\mathrm{e}^x$，

当$x \in (-\infty, -1)$时，$\varphi'(x) < 0$，函数$\varphi(x)$单调递减；

当$x \in (-1, +\infty)$时，$\varphi'(x) > 0$，函数$\varphi(x)$单调递增.

当$x \to -\infty$时，$\varphi(x) \to 0$；当$x \to +\infty$时，$\varphi(x) \to +\infty$，$\varphi(-1) = -\dfrac{1}{\mathrm{e}}$，

所以$\dfrac{1}{k} \le -\dfrac{1}{\mathrm{e}}$，即$-\mathrm{e} \le k < 0$.

综上，$-\mathrm{e} \le k \le 0$，

所以满足条件的整数$k$的值有$-2, -1, 0$，有且只有$3$个.

故选：B