湖北襄阳25~26高二(上)1月月考·第14题

$\frac{5}{2}$，$\frac{11\sqrt{53}}{53}$，$\frac{11}{5}$（只需写出其中一个值即可）

【题目】若恰有三组不全为$0$的实数对$(a,b)$满足关系式$|2a + b + 3|$=$|5a – 3b + 3|$=$t\sqrt{a^2 + b^2}$，试写出满足条件的一个实数$t$的值:_______.

【答案】$\frac{5}{2}$，$\frac{11\sqrt{53}}{53}$，$\frac{11}{5}$（只需写出其中一个值即可）

【解析】由已知得$t > 0$，
整理得$\frac{|2a + b + 3|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|5a – 3b + 3|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = t$，

看成有且仅有三条直线满足，$A(2,1)$和$B(5, -3)$到直线$l$：$ax + by + 3 = 0$（不过原点）的距离均为$t$，
由$|AB| = \sqrt{(5 – 2)^2 + (-3 – 1)^2} = 5$，

(1) 当$t = \frac{|AB|}{2} = \frac{5}{2}$，此时，易得符合题意的直线$l$为线段$AB$的垂直平分线$6x – 8y – 29 = 0$，
以及与直线$AB$平行的两条直线$8x + 6y + 3 = 0$和$8x + 6y – 47 = 0$；

(2) 当$t < \frac{|AB|}{2} = \frac{5}{2}$时，有4条直线$l$会使得点$A(2,1)$和$B(5, -3)$到它们的距离相等，
注意到/不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去.

设点$A$到$l$的距离为$d$，

①作为增根被舍去的直线$l$，过原点和$A,B$的中点$M\left(\frac{7}{2}, -1\right)$，其方程为$2x + 7y = 0$，
此时，$t = d = \frac{11}{\sqrt{53}} < \frac{5}{2}$，符合；

②作为增根被舍去的直线$l$，过原点且以$\overrightarrow{AB}$为方向向量，其方程为$4x + 3y = 0$，
此时，$t = d = \frac{11}{5} < \frac{5}{2}$，符合；

综上，满足题意的实数$t$为$\frac{5}{2}$，$\frac{11}{5}$，$\frac{11\sqrt{53}}{53}$；

故答案为：$\frac{5}{2}$，$\frac{11}{5}$，$\frac{11\sqrt{53}}{53}$．