浙江金华十校2026届高三一模第11题

ABD

【题目】(多选)在$\triangle ABC$中，若$A=\cos A$，$B=\cos(\cos B)$，$C=k\tan(\sin C)$，则（ ）

A. $A=B$
B. $B < C$
C. $C<\frac{\pi}{2}$
D. $k<2$

【答案】ABD
【解析】先证明：$f(x)=x-\cos(\cos x)$在$(0,\pi)$内仅有唯一解，

由$f^\prime(x)=1+\sin(\cos x)\cdot\sin x > 0$，
则$f(x)$在$(0,\pi)$递增，

又$f(0)=-\cos1 < 0$，$f(\pi)=\pi-\cos1 > 0$．

故$f(x)=x-\cos(\cos x)$在$(0,\pi)$内仅有唯一解．

又$x=\cos x$，则$\cos x=\cos(\cos x)=x$；
则$B=\cos(\cos B)\Leftrightarrow B=\cos B$．

易知$g(x)=x-\cos x$在$(0,\pi)$递增，

且$g(\frac{\pi}{6})=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}>0$，
$g(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi-2\sqrt{2}}{4}>0$，
$g(\frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}=\frac{\pi-3}{6}<0$，

由$g(A)=g(B)>0$，则$\frac{\pi}{6} < A=B<\frac{\pi}{4}$，故A对；

B：由$A=B<\frac{\pi}{3}$，则$C=\pi-2B>\frac{\pi}{3}$，则$C>B$，故B对；

C：由$A=B<\frac{\pi}{4}$，$A+B<\frac{\pi}{2}$，则$C>\frac{\pi}{2}$，故C错；

D：由$A,B\in(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4})$，则$C\in(\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3})$，则$\sin C\in(\frac{\sqrt{3}}{2},1)$

由$C=k\tan(\sin C)\Rightarrow k<\frac{C}{\sin C}=\frac{\pi-2B}{\sin C}=\frac{\pi-2\cos B}{\sin C}$$<\frac{\pi-2\sqrt{2}}{\sin C}<\frac{\pi-2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\pi-4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}<2$，故D对.

综上选ABD.