江苏无锡2026届高三(上)期中考试第8题

D

【题目】已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{1-x}-x+k$的三个零点为$a$，$b$，$c$，且$a < b < c$，则下列结论不正确的是（ ）

A. $f(x)$在$(0,1)$上单调递减

B. 曲线$y=f(x)$是中心对称图形

C. $\forall k \in \mathbb{R}$，都有$c > b + 1$

D. $\forall k \in \mathbb{R}$，都有$c > a + 3$

【答案】D
【解析】选项A：
$f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(1-x)^2}-1$.

在$(0,1)$上，$x^2 > 0$，$(1-x)^2 > 0$，故$f'(x) < 0$，因此$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，选项A正确.

选项B：
令$g(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{1-x}-x$，
则
$g\left( {\frac{1}{2} + t} \right) + g\left( {\frac{1}{2} – t} \right) $$= \left[ {\frac{1}{{\frac{1}{2} + t}} – \frac{1}{{\frac{1}{2} – t}} – \left( {\frac{1}{2} + t} \right)} \right] $$+ \left[ {\frac{1}{{\frac{1}{2} – t}} – \frac{1}{{\frac{1}{2} + t}} – \left( {\frac{1}{2} – t} \right)} \right] = – 1$

故$g(x)$关于$\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$对称，$f(x)=g(x)+k$关于$\left(\frac{1}{2},k-\frac{1}{2}\right)$对称，选项B正确.

选项C：
由$f(x)$的对称性及单调性，取特殊值$k=\frac{1}{2}$，此时$b=\frac{1}{2}$，$c=2$，$b + 1=\frac{3}{2}$，显然$2 > \frac{3}{2}$.

再结合$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递减的性质，可证对任意$k \in \mathbb{R}$，$c > b + 1$，选项C正确.

选项D：
取$k=\frac{1}{2}$，此时$a=-1$，$c=2$，$a + 3=2$，即$c = a + 3$，不满足$c > a + 3$，故选项D不正确.

综上，答案为D.