25~26高一上·重庆外国语学校1月检测·第14题

$a < b < c$

【题目】若$e^a + a = \lg b + b^2 = \ln c + c^3 = 0$，则$a, b, c$的大小关系为__.

【答案】$a < b < c$

【解析】$\because e^a + a = 0$, $\therefore e^a = -a$,
$\because e^a > 0$,$\ \therefore -a > 0$,$\ \therefore a < 0,$
$ \because \lg b + b^2 = 0$,$\ \therefore \lg b = -b^2,$

设$y=\lg x$，定义域为$(0,+\infty)$，$y=\lg x$在$(0,+\infty)$上为单调递增函数，

设$y=-x^2$在$(0,+\infty)$上为单调递减函数.

当$b=1$时，$\lg b=\lg 1=0,\ -b^2=-1$，此时$\lg b > -b^2$，

当$b=\frac{1}{10}$时，$\lg \frac{1}{10}=-1,\ -\left(\frac{1}{10}\right)^2=-\frac{1}{100}$，此时$\lg b < -b^2$，

则$b \in \left(\frac{1}{10},1\right)$，使得$\lg b = -b^2$，即$b \in \left(\frac{1}{10},1\right)$.

$
\because \ln c + c^3 = 0,\ \therefore \ln c = -c^3,$

设$y=\ln x$，定义域为$(0,+\infty)$，$y=\ln x$在$(0,+\infty)$上为单调递增函数，

设$y=-x^3$在$(0,+\infty)$上为单调递减函数.

当$c=1$时，$\ln c=\ln 1=0,\ -c^3=-1$，此时$\ln c > -c^3$，

当$c=\frac{1}{10}$时，$\ln \frac{1}{10}<\ln \frac{1}{\text{e}}=-1,\ -\left(\frac{1}{10}\right)^3=-\frac{1}{1000}$，此时$\ln c < -c^3$，

则$c \in \left(\frac{1}{10},1\right)$，使得$\ln c = -c^3$，即$c \in \left(\frac{1}{10},1\right)$.

当$x \in \left(\frac{1}{10},1\right)$时，$\lg x > \ln x,\ x^2 > x^3$，则$\lg x + x^2 > \ln x + x^3$，

$y=\lg x + x^2$在$x \in \left(\frac{1}{10},1\right)$为增函数，$y=\ln x + x^3$在$x \in \left(\frac{1}{10},1\right)$为增函数，

所以$\lg c + c^2 > \ln c + c^3 = 0 = \lg b + b^2$,

$
\therefore 0 < b < c,
$

综上可知，$a < b < c$.