25~26高三上·山东名校联盟期中·第14题

$[\text{e},+\infty)$

【题目】若存在$x\in(0,+\infty)$，使$ax^2\ge e^x+ax\ln x$成立，则$a$的取值范围为_____.

【答案】$[\text{e},+\infty)$

【解析】不等式$ax^2\ge e^x+ax\ln x$成立等价于$a(x-\ln x)\ge \frac{\text{e}^x}{x}=\text{e}^{x-\ln x}$，
令$t=x-\ln x(x>0)$，易知$t’=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
易知$t=x-\ln x$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增，
所以$t\ge 1$，
则上述不等式等价于$a\ge \frac{\text{e}^t}{t}(t\ge 1)$有解，
设$f(t)=\frac{\text{e}^t}{t}$，知$f'(t)=\frac{\text{e}^t(t-1)}{t^2}$，显然$f(t)$在$(1,+\infty)$上单调递增，
即$f(t)\ge f(1)=\text{e}$，则$a\ge \text{e}$.
故答案为：$[\text{e},+\infty)$.