25~26高三上·河南百师联盟·第14题

$51$

【题目】集合$U = { m \in \mathbf{N} | 1 \leq m \leq 101 }$，集合$M \subseteq U$，对任意$x, y \in M$，有$x + y \notin M$，则集合$M$中元素个数的最大值是______.

【答案】$51$

【解析】要使$M$中元素的个数最大，且$\forall x, y \in M$，有$x + y \notin M$，必有$101 \in M$，
此时其余元素分组为$(1, 100)$、$(2, 99)$、$\cdots$、$(50, 51)$，共有$50$组，
注意每组的两个元素必不能同时出现在集合$M$（因为它们的和为$101$），
所以，要使$M$中元素的个数最大，每组至多能取一个元素，即$50$组中共取$50$个元素，
由抽屉原理知，不可能从$50$组中取$51$个元素，否则必有两个元素的和为$101$，不满足$x + y \notin M$，
综上，$M$中元素的个数最大为$51$个，
如$M = { 51, 52, 53, \cdots, 101 }$、$M = { 1, 3, 5, 7, \cdots, 101 }$均符合，元素个数为$101 – 51 + 1 = \frac{101 – 1}{2} + 1 = 51$.
故答案为：$51$