25~26高三上·上海七宝中学期中·第10题

$[\sqrt{3} – 1, \sqrt{3} + 1]$

【题目】如图，$\triangle ABC$的顶点$C \in$平面$\alpha$，点$A$、$B$在平面$\alpha$的同一侧，且$AC = 2\sqrt{2}$，$BC = 2$.若$AC$、$BC$与平面$\alpha$所成的角分别为$\frac{\pi}{3}$、$\frac{\pi}{4}$，则$\triangle ABC$面积的取值范围为______.

【答案】$[\sqrt{3} – 1, \sqrt{3} + 1]$

【解析】如图，过$C$作直线$l$垂直于平面$\alpha$，

因为$AC$，$BC$与平面$\alpha$所成的角分别为$\frac{\pi}{3}$，$\frac{\pi}{4}$，
则点$A$，$B$分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，
当直线$AC$，$BC$与轴$l$在同一平面内时，
$\triangle ABC$的面积可取最大最小值，

于是，有$\frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{6} \leq \angle ACB \leq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}$，
即$\frac{\pi}{12} \leq \angle ACB \leq \frac{5\pi}{12}$，

所以$\sin\frac{\pi}{12} \leq \sin\angle ACB \leq \sin\frac{5\pi}{12}$，
即$\frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} \leq \sin\angle ACB \leq \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$，

所以$\triangle ABC$的面积为$S = \frac{1}{2}|AC| \cdot |BC| \sin\angle ACB = 2\sqrt{2} \sin\angle ACB$，

所以$\sqrt{3} – 1 \leq S \leq \sqrt{3} + 1$，

故答案为：$[\sqrt{3} – 1, \sqrt{3} + 1]$.