25~26高三上·安徽多校1月联考·第8题

D

【题目】已知抛物线$C:y^2=4x$的焦点为$F$，点$P(t^2,2t)$ $(t>1)$是$C$上的动点，以$PF$为直径作圆$M$，再作圆$M$的与直线$PF$平行的两条切线，两条切线与$y$轴的交点分别为$A,B$，则$|AB|$的最小值为（ ）
A．$1$
B．$4$
C．$4\sqrt{2}$
D．$8$

【答案】D

【解析】由题意知抛物线焦点坐标为$F(1,0)$，由抛物线的定义可知$|PF|=t^2+1$.
设两个切点分别为$D,E$，则$|DE|=|PF|$.

记直线$PF$的倾斜角为$\alpha$，由题意可得$\angle ABE=\frac{\pi}{2}-\alpha$，
则$|AB|=\frac{|DE|}{\sin\angle ABE}=\frac{|DE|}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\frac{|PF|}{\cos\alpha}$
$=\frac{|PF|}{\sqrt{\cos^2\alpha}}=|PF|\sqrt{\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}$
$=|PF|\cdot\sqrt{1+\tan^2\alpha}
$，

又$\tan\alpha=k_{PF}=\frac{2t}{t^2-1}$，
所以$|AB|=(t^2+1)\sqrt{1+\frac{4t^2}{(t^2-1)^2}}=\frac{(t^2+1)^2}{t^2-1}$，

设$u=t^2-1$，则$u>0$，
$|AB|=\frac{(u+2)^2}{u}=u+\frac{4}{u}+4\geq 2\sqrt{u\cdot\frac{4}{u}}+4=8$，

当且仅当$u=2$，即$t=\sqrt{3}$时等号成立，所以$|AB|$的最小值为$8$.

故选：D.