25~26高三上·深圳龙岗区期末·第14题

$\boldsymbol{\frac{10}{3}}$

【题目】猫在做完手术后往往需要戴“防舔圈”（也被称为“伊丽莎白圈”）保护伤口，可将其视为一个圆台的侧面.现有一个宽度（圆台的母线）为$13$厘米的“防舔圈”，戴在一只猫的头上，把猫头理想化为一个半径为$5$厘米的球，这个球与“防舔圈”口径小的圆台底面相切且与圆台侧面相切，为了舔不到伤口，头到口径大的圆台底面的距离不小于$2$厘米，则口径小的底面半径最小为______厘米.

【答案】$\boldsymbol{\frac{10}{3}}$

【解析】作轴截面，分别记口径小的圆台底面及口径大的圆台底面圆心为$O_1,O_2$，半径为$O_1A_1,O_2A_2$.

球的球心为$O$，半径为$OO_1 = OA = 5$.

过$A$作$AB \perp O_2A_2$于点$B$.

设$\angle A_1A_2O_2 = \alpha$，$\alpha \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，且$\sin\alpha = \frac{A_1B}{A_1A_2} = \frac{O_1O_2}{A_1A_2} \ge \frac{12}{13}$，设$O_1A_1 = r$，

则$O_1O_2 = A_1B = 13\sin\alpha$，$A_2B = 13\cos\alpha$.

因为$S_{\triangle OA_1A_2} + S_{\triangle OO_1A_1} + S_{\triangle OO_2A_2} = S_{\text{梯形} O_1O_2A_2A_1}$，

所以$\frac12 \times 13 \times 5 + \frac12 r \times 5 + \frac12 \left(13\sin\alpha – 5\right) \times \left(r + 13\cos\alpha\right)$
$= \frac{\left(r + r + 13\cos\alpha\right)13\sin\alpha}{2}$,

整理得$r = \frac{5\left(1-\cos\alpha\right)}{\sin\alpha} = \frac{5 \times 2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = 5\tan\frac{\alpha}{2}$.

因为$\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}}
= \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}} \ge \frac{12}{13}$,
且$\frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$，

所以$\begin{cases}
6\tan^2\frac{\alpha}{2} – 13\tan\frac{\alpha}{2} + 6 \le 0 \
0 < \tan\frac{\alpha}{2} < \tan\frac{\pi}{4} = 1
\end{cases}$，

即$\begin{cases}
\left(3\tan\frac{\alpha}{2} – 2\right)\left(2\tan\frac{\alpha}{2} – 3\right) \le 0 \
0 < \tan\frac{\alpha}{2} < 1
\end{cases}$，

解得$\frac{2}{3} \le \tan\frac{\alpha}{2} < 1$.

所以$\tan\frac{\alpha}{2}$的最小值为$\frac{2}{3}$，所以$5\tan\frac{\alpha}{2}$的最小值为$\frac{10}{3}$，即口径小的底面半径最小为$\frac{10}{3}$厘米.

故答案为：$\boldsymbol{\frac{10}{3}}$.