25~26高二上·江苏苏州西交大附中期中·第14题

$\sqrt{17}$

【题目】已知正方形$ABCD$的边长为$2$，点$M$在以$C$为圆心，$1$为半径的圆上，则$2|MB| + |MD|$的最小值为______.

【答案】$\sqrt{17}$
【解析】依题意，以点$C$为原点，直线$CB$，$CD$分别为$x$，$y$轴建立平面直角坐标系，则$B(2,0)$，$D(0,2)$，如图，

取点$E(0,\frac{1}{2})$，
设$M(x,y)$，
当$|MD| = 2|ME|$时，$\sqrt{x^2 + (y – 2)^2} = 2\sqrt{x^2 + (y – \frac{1}{2})^2}$，化简整理得$x^2 + y^2 = 1$，
即点$M$的轨迹是以$C$为圆心，$1$为半径的圆，
而点$M$在以$C$为圆心，$1$为半径的圆上，因此$|MD| = 2|ME|$，
显然点$B$在圆$C$：$x^2 + y^2 = 1$外，
则$2|MB| + |MD| = 2|MB| + 2|ME| $ $= 2(|MB| + |ME|) \geq 2|BE|$，
当且仅当$M$为线段$BE$与圆$C$的交点时取等号，
而$|BE| = \sqrt{2^2 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{17}}{2}$，
所以$2|MB| + |MD|$的最小值为$2|BE| = \sqrt{17}$．
故答案为：$\sqrt{17}$．