25~26高三上·湖北圆创教育联盟期中·第10题

AC

【题目】（多选）设$\theta$是两个非零向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的夹角，若对任意实数$t$，$|\boldsymbol{a}+2t\boldsymbol{b}|$的最小值为$2$，则下列结论正确的是（ ）
A.若$\theta$确定，则$|\boldsymbol{a}|$唯一确定
B.若$|\boldsymbol{a}|$确定，则$\theta$唯一确定
C.若$\theta = \frac{\pi}{3}$，则$|\boldsymbol{a}| = \frac{4\sqrt{3}}{3}$
D.若$|\boldsymbol{a}| = \frac{4\sqrt{3}}{3}$，则$\theta = \frac{\pi}{3}$

【答案】AC
【解析】记$\lambda = 2t$，$\boldsymbol{a} = \overrightarrow{OA},\boldsymbol{b} = \overrightarrow{OB}$，
则$|\boldsymbol{a}+2t\boldsymbol{b}| = |\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB}|$最小值即为$A$到直线$OB$的距离，
所以$|\boldsymbol{a}|\sin\theta = 2$. 若$\theta$确定，则$|\boldsymbol{a}|$唯一确定，A正确；

若$\theta = \frac{\pi}{3}$，则$|\boldsymbol{a}| = \frac{4\sqrt{3}}{3}$，C正确；

若$|\boldsymbol{a}| = \frac{4\sqrt{3}}{3}$，则$\theta = \frac{\pi}{3}$或$\theta = \frac{2\pi}{3}$，D不正确；

若$|\boldsymbol{a}|$确定，则$\theta$有两个解，B不正确.

故选AC.