24~25高三下·浙江杭州第二中学模拟·第14题

$\frac{\sqrt{10}}{3}$

【题目】已知$\triangle ABC$面积为$1$，边$AC,AB$上的中线为$BD,CE$，且$BD = \frac{4}{3}CE$，则边$AC$的最小值为_______．

【答案】$\frac{\sqrt{10}}{3}$

【解析】设$BD \cap CE = G$，
易知$G$为$\triangle ABC$的重心，
又$BD = \frac{4}{3}CE$，由重心为中线三等分点可得：$BG = \frac{4}{3}CG$，
同时$S_{\triangle BGC} = \frac{2}{3}S_{\triangle BCD} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} = \frac{1}{3}$，
设$CG = 3x$，$\angle CGD = \theta$，
则$BG = 4x$，$GD = 2x$，
则$S_{\triangle BGC} = \frac{1}{2}(3x)(4x)\sin(\pi – \theta) = 6x^2\sin\theta = \frac{1}{3}$，
所以$x^2 = \frac{1}{18\sin\theta}$，
由余弦定理可得：$AC = 2CD = 2\sqrt{4x^2 + 9x^2 – 12x^2\cos\theta} = 2\sqrt{\frac{13 – 12\cos\theta}{18\sin\theta}}$，
令$z = \frac{13 – 12\cos\theta}{\sin\theta}$，求其最小值即可，
上式化简可得：$13 = 12\cos\theta + z\sin\theta \leq \sqrt{(12^2 + z^2)(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = \sqrt{12^2 + z^2}$，
也即$z^2 \geq 13^2 – 12^2 = 25$，当且仅当$5\sin\theta + 12\cos\theta = 13$时取得等号，
所以$AC = 2\sqrt{\frac{13 – 12\cos\theta}{18\sin\theta}} \geq 2\sqrt{\frac{5}{18}} = \frac{\sqrt{10}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{3}$.