25~26高三上·浙江金华十校期末联考·第14题

$\boldsymbol{\sqrt{21}}$

【题目】已知椭圆$C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$的左焦点为$F$，点$A(4\sqrt{3},3)$，若以$A,F$为焦点的双曲线$E$与椭圆$C$交于点$P$，则双曲线$E$的离心率的最大值为_______.

【答案】$\boldsymbol{\sqrt{21}}$

【解析】设椭圆$C$的半长轴长、半焦距长分别为$a_1,c_1$，双曲线$E$的半实轴长、半焦距长分别为$a_2,c_2$，
则$a_1=2,\;c_1=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$.

可知椭圆$C$的左焦点为$F(-\sqrt{3},0)$，右焦点为$F_1(\sqrt{3},0)$，
且$|PF|+|PF_1|=2a_1=4$，即$|PF|=4-|PF_1|$.

因为$|AF|=\sqrt{(4\sqrt{3}+\sqrt{3})^2+3^2}=2\sqrt{21}$,
$|AF_1|=\sqrt{(4\sqrt{3}-\sqrt{3})^2+3^2}=6$,

则$c_2=\sqrt{21}>2+\sqrt{3}=a_1+c_1$，且线段$AF$的中垂线为双曲线$E$的一条对称轴，
可知双曲线$E$的右支与椭圆不相交.

因为$|PA|-|PF|=|PA|-(4-|PF_1|)=2a_2$，

可得$2a_2=|PA|+|PF_1|-4\ge|AF_1|-4=2$,

当且仅当点$P$在线段$AF_1$上时，等号成立.

即$a_2\ge1$，则双曲线$E$的离心率$e=\frac{c_2}{a_2}\le\sqrt{21}$,

所以双曲线$E$的离心率的最大值为$\sqrt{21}$.

故答案为：$\boldsymbol{\sqrt{21}}$.