25~26高三上·广东1月适应性测试·第14题

$-e^3$

【题目】已知$a,b$满足$e^a = -\frac{e}{a}$，$b(\ln b – 2) = e^3$（$e$为自然对数的底数），则$ab=$______.

【答案】$-e^3$

【解析】由$e^a = -\frac{e}{a}$，可得$a = \ln(-a) – 1$，即$\ln(-a) – a – 1 = 0$，
由$b(\ln b – 2) = e^3$，可得$\ln b + \ln(\ln b – 2) = 3$，即$\ln(\ln b – 2) + (\ln b – 2) – 1 = 0$，
令$f(x) = \ln x + x – 1$，则$f'(x) = \frac{1}{x} + 1 > 0$，故$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增，
所以$f(-a) = f(\ln b – 2) = 0$，则$-a = \ln b – 2$，即$2 – a = \ln b$，
而$-a = 1 – \ln(-a)$，故$3 – \ln(-a) = \ln b$，可得$\ln(-a) + \ln b = \ln(-ab) = 3$，
所以$ab = -e^3$.

故答案为：$-e^3$.