25~26高二上·安徽期中联考·第14题

$2\sqrt{5}$或$2$

【题目】已知满足等式$|2b – a + 1| = |2a + 6b + 2| $$= t\sqrt{a^2 + b^2}\ (t > 0)$的有序数对$(a, b)$有且仅有一个，则$t = $________．

【答案】$2\sqrt{5}$或$2$

【解析】由$|2b – a + 1| = |2a + 6b + 2|$$= t\sqrt{a^2 + b^2}\ (t > 0)$变形得$\frac{|2b – a + 1|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|2a + 6b + 2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = t$，
设直线的方程为$ax + by + 1 = 0$，
该等式可理解为点$P(-1, 2)$到直线的距离为$t$，点$Q(1, 3)$到直线的距离为$\frac{t}{2}$，
即是圆$P$（半径为$t$）和圆$Q$（半径为$\frac{t}{2}$）的公切线，根据题意这样的公切线仅有一条.

情形一：圆$P$与圆$Q$内切，则$t – \frac{t}{2} = |PQ| = \sqrt{5}$，得$t = 2\sqrt{5}$，

情形二：圆$P$与圆$Q$相交，一条公切线过原点$O$，另一条公切线为$l$，
因为直线$l$不过原点，该情形下也是唯一的，如图，两条切线的交点为$R$，
$l$与两个圆的切点分别为$A、B$，
因为$|PA| = 2|QB|$，所以$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{QR}$，可得点$R(3, 4)$，切线$OR$的方程为$y = \frac{4}{3}x$，即$4x – 3y = 0$，
此时$t = \frac{|-1×4 – 3×2|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 2$.

故答案为：$2\sqrt{5}$或$2$.