25~26高三上·广东湛江一模·第8题

D

【题目】已知不等式$2x – m\ln x + 1 \geq 2\ln x + n$（$m,n \in \mathbb{R}$，且$m \neq -2$）对任意正实数$x$恒成立，则$\dfrac{n – 5}{m + 2}$的最大值为（）
A. $\ln2$
B. $1$
C. $-1$
D. $-\ln2$

【答案】D

【解析】原不等式等价于$2x + 1 – n \geq (m + 2)\ln x$.

若$m < -2$，则曲线$g(x) = (m + 2)\ln x$必然有一部分位于直线$y = 2x + 1 – n$的上方， 与原不等式恒成立相矛盾，所以$m > -2$（也可令$x \to 0$，$g(x) \to +\infty > 1 – n$进行排除）.

所以上述不等式等价于$\dfrac{2x}{m + 2} + \dfrac{1 – n}{m + 2} \geq \ln x$，
设函数$f(x) = \ln x$，直线$l:y = \dfrac{2x}{m + 2} + \dfrac{1 – n}{m + 2}$.

经过分析可知，$f(x)$单调递增且上凸，直线经过点$\left(2,\dfrac{5 – n}{m + 2}\right)$，
要想$\dfrac{2x}{m + 2} + \dfrac{1 – n}{m + 2} \geq \ln x$恒成立，
需满足$\left(2,\dfrac{5 – n}{m + 2}\right)$在函数$f(x)$上方或$\left(2,\dfrac{5 – n}{m + 2}\right)$在$f(x)$上且与$f(x)$相切于此点，
可得$\dfrac{5 – n}{m + 2} \geq \ln2$，由此即可得$\dfrac{n – 5}{m + 2} \leq -\ln2$，
显然等号成立时，$\left(2,\dfrac{5 – n}{m + 2}\right)$在$f(x) = \ln x$上，
即直线$l$与$f(x)$相切于点$\left(2,\dfrac{5 – n}{m + 2}\right)$，
又$l:y = \dfrac{2x}{m + 2} + \dfrac{1 – n}{m + 2}$的斜率为$\dfrac{2}{m + 2}$，$f'(x) = \dfrac{1}{x}$，故$\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{m + 2}$，
解得$m = 2$，此时$n = 5 – 4\ln2$，所以$\dfrac{n – 5}{m + 2}$的最大值为$-\ln2$.

故选：D.