向量线性表示定动点，外心加持下的最值突围

$9$

【题目】设点$P$是$\triangle ABC$所在平面内动点，且$\angle A \neq \frac{\pi}{2}$，$P$点满足$\overrightarrow{CP} = \lambda \overrightarrow{CA} + \mu \overrightarrow{CB}$，$3\lambda + 4\mu = 2$（$\lambda, \mu \in \mathbf{R}$），$|\overrightarrow{PA}| = |\overrightarrow{PB}| = |\overrightarrow{PC}|$．若$|AB| = 3$，则$\triangle ABC$的面积最大值是______．

【答案】$9$

【解析】设$\overrightarrow{CE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$，
从而$\overrightarrow{CP} = \lambda \overrightarrow{CA} + \mu \overrightarrow{CB} $$= \frac{3\lambda}{2}\overrightarrow{CE} + 2\mu \overrightarrow{CD}$，

因为$\frac{3\lambda}{2} + 2\mu = 1$，所以$P$在$ED$上．

点$P$是$\triangle ABC$的外心，$ED$是$BC$中垂线，
延长$BA$到$F$，使$AB = AF$，连接$CF$，则点$E$是$\triangle FBC$的重心，$FD$是$BC$边上的中线，
因为$FD \perp BC$，所以$FC = FB = 2AB = 6$，
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}S_{\triangle FBC} $$= \frac{1}{4} \times FB \times FC \times \sin\angle CFB $$= 9\sin\angle CFB \leq 9$．