25~26高三上·山东青岛二中期中·第14题

$\sqrt{2}$

【题目】实数$a,b$满足$\frac{1}{a^3}e^{a^2-b} + 2a^2 $$= 6\ln a + 2b + 1, c \in \mathbf{R}$，则$\sqrt{(a – c)^2 + (b + c)^2}$的最小值是______．

【答案】$\sqrt{2}$

【解析】由$\frac{1}{a^3}e^{a^2-b} + 2a^2$$= e^{-3\ln a} e^{a^2 – b}+ 2a^2$$= e^{a^2 – b – 3\ln a}$，
因为$\frac{1}{a^3}e^{a^2-b} + 2a^2 = 6\ln a + 2b + 1$，可得$e^{a^2 – b – 3\ln a} + 2a^2 = 6\ln a + 2b + 1$，
所以$e^{a^2 – b- 3\ln a} + 2(a^2 – b – 3\ln a) – 1 = 0$，
又由$f(x) = e^x + 2x – 1$，可得$f'(x) = e^x + 2 > 0$，所以$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，
又因为$f(0) = 0$，则$a^2 – 3\ln a = b$，
则$\sqrt{(a – c)^2 + (b + c)^2} = \sqrt{(a – c)^2 + (a^2 – 3\ln a + c)^2}$，
表示函数$g(x) = x^2 – 3\ln x, x > 0$图象上的点到直线$y = -x$上一点的距离，
则最小值为$g(x)$图象与直线$y = -x$平行的切线到直线$y = -x$的距离，
设切点为$P(x_0, y_0)$，其中$x_0 > 0$，由$g'(x) = 2x – \frac{3}{x}$，可得$g'(x_0) = 2x_0 – \frac{3}{x_0}$，
令$2x_0 – \frac{3}{x_0} = -1$，解得$x_0 = 1$，可得$y_0 = 1$，即切点为$P(1, 1)$，
可得切点为$P(1, 1)$到直线$y = -x$距离为$d = \frac{|1 + 1|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，
即$\sqrt{(a – c)^2 + (b + c)^2}$的最小值是$\sqrt{2}$．

故答案为：$\sqrt{2}$.