25~26高三上·四川寿仁一中一模·第14题

$\frac{7}{30}$

【题目】将五张标有$1, 2, 3, 4, 5$的卡片摆成下图，若逐一取这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按$1-3-5-4-2$取走卡片的顺序是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这$5$张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为______．

【答案】$\frac{7}{30}$

【解析】分两种情况讨论：
（1）第一步，从$1$号或$3$号卡片抽取一张，有$2$种情况，比如先抽$1$号卡片，
第二步，从$3$号或$5$号卡片抽取一张，有$2$种情况，比如先抽$3$号卡片，
第三步，从$2$号或$5$号卡片抽取一张，有$2$种情况，比如先抽$2$号卡片，
第四步，从$4$号或$5$号卡片抽取一张，有$2$种情况，
第五步，抽最后一张卡片，
此时，不同的抽法种数为$2×2×2×2 = 16$种；

（2）第一步，抽$5$号卡片，
第二步，从$1、3、4$号卡片抽取一张，有$3$种情况，比如先抽$1$号卡片，
第三步，从$3、4$号卡片抽取一张，有$2$种情况，比如先抽$3$号卡片，
第四步，从$2、4$号卡片抽取一张，有$2$种情况，
第五步，抽最后一张卡片，
此时，不同的抽法种数为$3×2×2 = 12$种；

而从$5$张卡片随意抽取，不同的抽法种数为$\text{A}_{5}^{5} = 120$，
因此，取卡顺序是“和谐序”的概率为$\frac{16 + 12}{120} = \frac{7}{30}$．
故答案为：$\frac{7}{30}$.