25~26高三上·浙江宁波镇海中学期末·第14题

$21$

【题目】将一个棱长为$1$的正四面体$S – ABE$和各条棱长都为$1$的正四棱锥$S – BCDE$按如图所示的方式拼接在一起，则此几何体的各个面所在的平面将空间分成_____个部分.

【答案】$21$

【解析】

因为上图是棱长为$1$的正四面体$S – ABE$和各条棱长都为$1$的正四棱锥$S – BCDE$，
所以取$BS$的中点为$H$，可知$AH \perp BS$，$CH \perp BS$，$EH \perp BS$，
即正四面体的一个二面角的平面角为$\angle AHE$，正四棱锥的两侧面形成的一个二面角的平面角为$\angle CHE$.

由已知可得：$AE = 1$，$AH = HE = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
所以
$\cos\angle AHE = \dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 – 1^2}{2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}}$$= \dfrac{\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4} – 1}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{1}{3}$.

又已知可得：$CH = HE = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$CE = \sqrt{2}$，
所以
$
\cos\angle CHE = \dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 – (\sqrt{2})^2}{2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}} $$= \dfrac{\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4} – 2}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}} = -\dfrac{1}{3}.
$

由于$\cos\angle AHE = -\cos\angle CHE$，
因为$\angle AHE, \angle CHE \in (0, \pi)$，
所以$\angle AHE + \angle CHE = \pi$，
从而可得侧面$ABS$与侧面$SBC$共面，
即四边形$ABCS$是菱形，可得$SC // AB$.

再利用正四面体与正四棱锥的性质可知，侧面$AES$与侧面$SDE$也共面，
即四边形$AEDS$是菱形，可得$SD // AE$.

由于$AB \subset$ 平面$ABE$，$SC \not\subset$ 平面$ABE$，
所以$SC //$ 平面$ABE$，
同理$SD //$ 平面$ABE$，
又因为$SC \cap SD = S$，$SC, SD \subset$ 平面$SCD$，
所以平面$SCD //$ 平面$ABE$，
所以这个几何体是一个三棱柱.

其中三个侧面$ABCS$，侧面$AEDS$，侧面$BCDE$所在的平面可将空间分成$7$个部分，
再由两个平行底面$ABE$与底面$SCD$又将空间分成上、中、下$3$个部分；
所以这五个面所在的平面可以将空间分成$7 \times 3 = 21$个部分.

故答案为：$21$.