25~26高三上·广东二调·第14题

$(0,4]$

【题目】已知函数$f(x) = ax^3 – 3x$，若存在$t \in \mathbf{R}$，使得$|f(t+2) – f(t)| \leq 2$成立，则实数$a$的取值范围是______．

【答案】$(0,4]$

【解析】$f(t+2)-f(t)$$= a(t+2)^3 – 3(t+2) – at^3 – 3t$$= 6at^2 + 12at + 8a – 6$$= 6a(t+1)^2 + 2a – 6$，
设$g(t) = |6a(t+1)^2 + 2a – 6|$，则当$a = 0$时，$g(t) = |-4| \leq 2$不成立；

当$a < 0$时，由$2a – 6 < -6$，得$g(t) > 6$，则$[g(t)]_{\min} > 6 \leq 2$不成立；

当$a > 0$时，若$2a – 6 \leq 0$，则$g(t) \geq 0$，即$[g(t)]_{\min} = 0 < 2$成立；

若$2a – 6 > 0$，则$g(t) \geq 2a – 6$，即$[g(t)]_{\min} = 2a – 6 \leq 2$，得$a \leq 4$．

综上，$a$的取值范围是$(0,4]$．