26~26高三上·湖南邵阳一模·第8题

C

【题目】设函数$f(x) = x – \dfrac{2}{a^x}$和$g(x) = x – \dfrac{2}{\log_a x}$的零点分别为$x_1,x_2$，其中$a>1$.当$a \in [2,+\infty)$时，则$x_1 + 32x_2$的取值范围为（ ）
A. $[16\sqrt{2},+\infty)$
B. $[16,+\infty)$
C. $[65,+\infty)$
D. $[65\sqrt{2},+\infty)$

【答案】C

【解析】由$f(x)=0$，得$a^x = \dfrac{2}{x}$，
设$y_1=a^x$的图象与$y=\dfrac{2}{x}$的图象的交点为$\left(x_1,\dfrac{2}{x_1}\right)$，

由$g(x)=0$，得$\log_a x = \dfrac{2}{x}$，
设$y_2=\log_a x$的图象与$y=\dfrac{2}{x}$的图象的交点为$\left(x_2,\dfrac{2}{x_2}\right)$，

而$y_1=a^x$的图象与$y_2=\log_a x$的图象关于直线$y=x$对称，
函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象也关于直线$y=x$对称，
因此点$\left(x_1,\dfrac{2}{x_1}\right)$与点$\left(x_2,\dfrac{2}{x_2}\right)$关于直线$y=x$对称，
则$x_2=\dfrac{2}{x_1}$，$x_1 + 32x_2 = x_1 + \dfrac{64}{x_1}$.

而当$a=2$时，$x_1=1$；当$a \in [2,+\infty)$时，$x_1 \in (0,1]$，
函数$y=x+\dfrac{64}{x}$在$(0,1]$上单调递减，
所以$x_1 + 32x_2 \in [65,+\infty)$.

故选：C.