25~26高三上·河南九师联盟·第8题

A

【题目】已知数列${a_n}$满足$a_1 = 1$，$a_{n+1} = \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^2 a_n + \frac{1}{n+1}$，若对$\forall n \in \mathbf{N}^*$，$t a_n + \frac{n}{2} + \frac{41}{n} + 1 \geq 0$，则实数$t$的取值范围是（ ）
A．$[-18,+\infty)$
B．$[-16,+\infty)$
C．$[-12,+\infty)$
D．$[-8,+\infty)$

【答案】A
【解析】因为$a_{n+1} = \left( 1 – \frac{1}{n+1 } \right)^2 a_n + \frac{1}{n+1}$，
所以$( n+1)^2 a_{n+1} = n^2 a_n + n+1$，
即$(n+1)^2 a_{n+1} – n^2 a_n = n+1$，
所以当$n \geq 2$时，
$n^2 a_n = \left[ n^2 a_n – (n-1)^2 a_{n-1} \right] $$+ \left[ (n-1)^2 a_{n-1} – (n-2)^2 a_{n-2} \right] $$+ \dots + \left( 2^2 a_2 – 1^2 a_1 \right) + 1^2 a_1 $$= n + (n-1) + \dots + 1$
$= \frac{n(n+1)}{2}$，

所以$a_n = \frac{n+1}{2n}$，$a_1 = 1$也满足，

所以$a_n = \frac{n+1}{2n}$，$n \in \mathbf{N}^*$．

所以$t a_n + \frac{n}{2} + \frac{41}{n} + 1 \geq 0$恒成立，

即$-t \leq \frac{n^2 + 2n + 82}{n+1}$，

因为$\frac{n^2 + 2n + 82}{n+1} = \frac{(n+1)^2 + 81}{n+1} $$= n+1 + \frac{81}{n+1} $$\geq 2\sqrt{(n+1) \times \frac{81}{n+1}} = 18$，

当且仅当$n=8$时，等号成立，
所以$-t \leq 18$，即$t \geq -18$，

所以实数$t$的取值范围是$[-18,+\infty)$，

故选：A.