25~26高一上·学军中学12月考·第14题

$\left( -\frac{5}{4}, -1 \right]$

【题目】若函数$f(x) = \sqrt{x + 1} + k$的定义域为$[m, n](m < n)$，值域为$[m, n]$，则实数$k$的取值范围是______．

【答案】$\left( -\frac{5}{4}, -1 \right]$

【解析】由$f(x) = \sqrt{x + 1} + k$，则有$x \geq -1$，故$m \geq -1$，
且有$f(x)$在定义域内单调递增，
则$f(m) = \sqrt{m + 1} + k = m$，$f(n) = \sqrt{n + 1} + k = n$，
即$\sqrt{m + 1} = m – k$，$\sqrt{n + 1} = n – k$，
令$t_1 = \sqrt{m + 1} \geq 0$，$t_2 = \sqrt{n + 1} > 0$，
则$m = t_1^2 – 1$，$n = t_2^2 – 1$，
则$t_1^2 – t_1 – 1 – k = 0$，$t_2^2 – t_2 – 1 – k = 0$，
故$t_1, t_2$是关于$t$的方程$t^2 – t – 1 – k = 0$的两个不同非负根，
则有$\begin{cases} \Delta = 1^2 + 4(1 + k) > 0 \ t_1 + t_2 = 1 > 0 \ t_1t_2 = -1 – k \geq 0 \end{cases}$，
解得$-\frac{5}{4} < k \leq -1$．

故答案为：$\left( -\frac{5}{4}, -1 \right]$.