25~26高二上·陕西商洛期末·第14题

$\sqrt{5}$

【题目】已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+(2\sqrt{x}-2)^2}+x+1$，则函数$f(x)$的最小值为______.

【答案】$\sqrt{5}$

【解析】函数$f(x)=\sqrt{x^2+(2\sqrt{x}-2)^2}+x+1$$=\sqrt{(x-0)^2+(2\sqrt{x}-2)^2}+x+1$，
所以函数$f(x)$表示$P(x,2\sqrt{x})$与$M(0,2)$两点间距离与点$P$到直线$x=-1$的距离之和.

所以点$P$在曲线$y=2\sqrt{x}$上，曲线$y=2\sqrt{x}$是抛物线$y^2=4x$在第一象限的部分以及坐标原点，
且抛物线$y^2=4x$的焦点为$F(1,0)$，准线方程为$x=-1$.

所以函数$f(x)$的最小值就是$|PM|+|PF|$的最小值，
因为$|PM|+|PF|\ge|MF|=\sqrt{5}$，
当且仅当$P$在线段$MF$上时等号成立，
所以函数$f(x)$的最小值为$\sqrt{5}$.

故答案为：$\sqrt{5}$.