25~26高三上·湖南湘潭二模·第14题

$1080$

【题目】将数字$1,2,3,4,5,6,7,8,9$填入一个$3\times3$的方格中，每个格子填$1$个数字，且不重复，要求第一行数字满足$a_{11} < a_{12} < a_{13}$，第三行数字满足$a_{31} < a_{32} < a_{33}$，第三列数字满足$a_{13} < a_{23} < a_{33}$，则符合要求的填数方法共有_______种.（用数字作答）

【答案】$1080$

【解析】从$9$个数中任取$2$个数填入$a_{21}$和$a_{22}$的位置，有$A_9^2 = 72$种方法.

因为$a_{11} < a_{12} < a_{13} < a_{23} < a_{33}$，$a_{31} < a_{32} < a_{33}$，
所以在剩下的$7$个数中，最大的数只能填入$a_{33}$的位置.

再从剩下的$6$个数字中选择$4$个数字填入$a_{11},a_{12},a_{13},a_{23}$的位置，且这$4$个数字只能按照从小到大的顺序分别填入$a_{11},a_{12},a_{13},a_{23}$的位置，
最后剩下的$2$个数字只能按照从小到大的顺序分别填入$a_{31},a_{32}$的位置.

故填好$a_{33},a_{11},a_{12},a_{13},a_{23},a_{31},a_{32}$共有$C_6^4C_2^2 = 15$种方法.

因此，按照要求填好该方格共有$72 \times 15 = 1080$种方法.

故答案为：$1080$.