旋转思维，让代数最值题开出几何之花

$\sqrt{5}$

【题目】设$0 < x,y < 1$，求
$u = \sqrt{2x^2 + 2y^2} + \sqrt{x^2 + y^2 – 2y + 1} $$+ \sqrt{x^2 + y^2 – 2x – 2y + 2}$的最小值.

【答案】$\sqrt{5}$
【解析】由题设
$u = \sqrt{2}\sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{x^2 + (y – 1)^2} $$+ \sqrt{(x – 1)^2 + (y – 1)^2}$.

在平面直角坐标系$xOy$中，
设点$P(x, y)$，$A(0, 0)$，$B(0, 1)$，$C(1, 1)$，
$D(1, 0)$，
如图所示，则$u = \sqrt{2}PA + PB + PC$.

将$\triangle APB$绕点$A$逆时针旋转$90^\circ$，
得到$\triangle AEF$，
则点$F(-1, 0)$，$PB = EF$，
因为$\triangle APE$是等腰直角三角形，
所以$PE = \sqrt{2}PA$.
于是$u = \sqrt{2}PA + PB + PC $$= PE + EF + PC \geq FC = \sqrt{5}，$
当$x = \frac{1}{5}$，$y = \frac{3}{5}$时等号成立.

所以$u$的最小值为$\sqrt{5}$.