25~26高三上·吉林九校11月联考·第13题

$9$

【题目】已知正数$x$，$y$满足$x + y = \frac{1}{x} + \frac{4}{y} + 8$，则$x + y$的最小值为______．

【答案】$9$
【解析】设$x + y = t(t > 0)$，
$x + y = \frac{1}{x} + \frac{4}{y} + 8$
$= \left( \frac{1}{x} + \frac{4}{y} + 8 \right)(x + y) \cdot \frac{1}{t} + 8$
$= \left( 1 + \frac{y}{x} + \frac{4x}{y} + 4 \right) \cdot \frac{1}{t} + 8$
$= \left( 5 + \frac{y}{x} + \frac{4x}{y} \right) \cdot \frac{1}{t} + 8$
$\geq \left( 5 + 2\sqrt{\frac{y}{x} \cdot \frac{4x}{y}} \right) \cdot \frac{1}{t} + 8 = \frac{9}{t} + 8$，
故$t^2 – 8t – 9 \geq 0$，
由于$t > 0$，故$t \geq 9$，即$x + y \geq 9$，
当且仅当$\frac{y}{x} = \frac{4x}{y}$，且$x + y = \frac{1}{x} + \frac{4}{y} + 8$，即$x = 3$，$y = 6$时，上式取“$=$”，
所以$x + y$的最小值为$9$．