25~26高三上·浙江杭州学军中学期末·第14题

$\dfrac{45}{16}$

【题目】某同学每次投篮命中的概率为$0.8$，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为_____.

【答案】$\dfrac{45}{16}$

【解析】设投篮总次数的数学期望为$E(X)$.
若第一次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为$E(X)$，
此情况下发生的概率为$0.2$，投篮总次数为$1 + E(X)$.
若第一次投中，且第二次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为$E(X)$，
此情况发生的概率为$0.8 \times 0.2$，投篮总次数为$2 + E(X)$.
若第一次投中，第二次投中，则此情况发生的概率为$0.8 \times 0.8$，投篮总次数为$2$。

则投篮总次数的数学期望为：
$
0.2 \times (1 + E(X)) $$+ 0.8 \times 0.2 \times (2 + E(X)) $$+ 0.8 \times 0.8 \times 2 = E(X)
$.

解得$E(X) = \dfrac{45}{16}$.

故答案为：$\dfrac{45}{16}$.