25-26高三上·四川眉山彭山一中期末·第14题

$565$

【题目】黄花方印盒起源于明代，鼎盛于明末清初至清代.可将其看作正方体容器，若棱长为$8$，向容器中装入直径为$1$的小球，最多可装入_____个.

【答案】$565$

【解析】有两种装入小球的方法：

第一种，每层都装入小球，可装入$8$层小球，此时共可以装入$64 \times 8 = 512$个小球.

第二种，每层小球相互错开装入：

第一层小球有$8 \times 8 = 64$个（如图1）.

第二层小球有$7 \times 7 = 49$个（如图2），且奇数层均为$64$个，偶数层均为$49$个.

第二层中的任意一球与第一层中与其相邻的四个球的球心构成一个棱长为$1$，高为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$的正四棱锥.

假设共有$n(n \in \mathbb{N}^*)$层小球，则总高度为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}(n – 1) + 1$.

令$\dfrac{\sqrt{2}}{2}(n – 1) + 1 \le 8$，解得$n \le 7\sqrt{2} + 1 < 11$，故小球最多放$10$层.

由上，相邻的两层小球共有$113$个，所以正方体一共可以放$113 \times 5 = 565$个小球.

故答案为：$565$.