25~26高三上·湖南湘潭二模·第14题

$1080$

从$9$个数中任取$2$个数填入$a_{21}$和$a_{22}$的位置，有$A_9^2 = 72$种方法.

因为$a_{11} < a_{12} < a_{13} < a_{23} < a_{33}$，$a_{31} < a_{32} < a_{33}$，
所以在剩下的$7$个数中，最大的数只能填入$a_{33}$的位置.

再从剩下的$6$个数字中选择$4$个数字填入$a_{11}$，$a_{12}$，$a_{13}$，$a_{23}$的位置，且这$4$个数字只能按照从小到大的顺序分别填入$a_{11}$，$a_{12}$，$a_{13}$，$a_{23}$的位置.

最后剩下的$2$个数字只能按照从小到大的顺序分别填入$a_{31}$，$a_{32}$的位置.

故填好$a_{33}$，$a_{11}$，$a_{12}$，$a_{13}$，$a_{23}$，$a_{31}$，$a_{32}$共有$C_6^4C_2^2 = 15$种方法.

因此，按照要求填好该方格共有$72 \times 15 = 1080$种方法.

故答案为：$1080$