25-26高三上·陕西安康期末·第8题

D

由题意得$\angle MFP = 90^\circ$，$F\left(\dfrac{p}{2},0\right)$，$|FP| = p$.
因为$\triangle MFP$为等腰直角三角形，所以$|MF| = |FP| = p$.
因为$S_{\triangle MFP}=2$，所以$\dfrac{1}{2}p^2 = 2$，所以$p = 2$，所以抛物线方程为$y^2 = 4x$.
过点$N$作$y$轴的垂线，过$F$点作$x$轴的垂线，两者交于点$A$.
由抛物线定义可知$|NF| = |NA|$，
所以$\dfrac{|NF|}{|NP|} = \dfrac{|NA|}{|NP|} = \sin\angle APN$.
所以$\angle APN$最小时，$\dfrac{|NF|}{|NP|}$取得最小值.
由图易知当$NP$为抛物线切线时取最小值，不妨设点$N$在$x$轴下方，
因为$y = -2\sqrt{x}\ (y<0)$，所以$y’ = -x^{-\frac{1}{2}}$.
设点$N(x_0,y_0)$，所以$-x_0^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{-y_0}{-1 – x_0}$，
因为$y_0 = -2\sqrt{x_0}$，所以$x_0 = 1$，所以$N(1,-2)$.

所以$|NP| = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$.
因为$|NF| = 1 + 1 = 2$，所以$\dfrac{|NF|}{|NP|} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
即$\dfrac{|NF|}{|NP|}$的最小值为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\dfrac{|NP|}{|NF|}$的最大值为$\sqrt{2}$.

故选：D.