25~26高三上·陇西师大附中模拟·第7题

A

由$\triangle ABF_2$的内切圆的圆心为$I$，

得点$I$到$\triangle ABF_2$三边的距离相等.

由$S_{\triangle IBF_2}:S_{\triangle IBA}:S_{\triangle IAF_2}=5:8:9$，

得$|BF_2|:|AB|:|AF_2|=5:8:9$.

设$|AF_2|=9t$，则$|BF_2|=5t$，$|AB|=8t$，

由双曲线定义知：$|AF_2|-|AF_1|=2a=9t-|AF_1|$，

$|BF_1|-|BF_2|=|AB|+|AF_1|-|BF_2|$$=8t+|AF_1|-5t=3t+|AF_1|=2a$，

则$12t=4a$，解得$t=\dfrac{1}{3}a$.

于是$|AF_2|=3a$，$|BF_2|=\dfrac{5}{3}a$，$|AB|=\dfrac{8}{3}a$，$|AF_1|=a$.

在$\triangle ABF_2$中，由余弦定理得$\cos\angle BAF_2=\dfrac{\left(\dfrac{8}{3}a\right)^2+(3a)^2-\left(\dfrac{5}{3}a\right)^2}{2\times\dfrac{8}{3}a\times3a}=\dfrac{5}{6}$.

在$\triangle AF_1F_2$中，$\cos(\pi-\angle BAF_2)=\dfrac{a^2+9a^2-4c^2}{6a^2}=-\dfrac{5}{6}$，则$c^2=\dfrac{15}{4}a^2$，
所以该双曲线的离心率为$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$.

故选：A.