25~26高三·四川凉山一模·第14题

$\frac{\mathrm{e}^2}{4}$

由$\left(2x+\sqrt{4x^2+1}\right)\left(\sqrt{y^2+4}-2\right)=y,x,y>0$，

整理得$2x+\sqrt{4x^2+1}=\frac{y}{\sqrt{y^2+4}-2}=\frac{y\left(\sqrt{y^2+4}+2\right)}{y^2}=\frac{\sqrt{y^2+4}+2}{y}$，

化简得：$2x+\sqrt{(2x)^2+1}=\sqrt{1+\left(\frac{2}{y}\right)^2}+\frac{2}{y}$，

设函数$f(t)=t+\sqrt{t^2+1}$，可知函数$f(t)$在$(0,+\infty)$内单调递增，

由$f(2x)=f\left(\frac{2}{y}\right)$可得$2x=\frac{2}{y}$，即$y=\frac{1}{x}$，代入$x^2\mathrm{e}^y$得$x^2\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$，

令$F(x)=x^2\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}(x>0)$，$F'(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\left(2x-1\right)$，

令$F'(x)=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，

当$0 < x <\frac{1}{2}$时，$F'(x)<0$；当$x>\frac{1}{2}$时，$F'(x)>0$；

可知$F(x)$在$\left(0,\frac{1}{2}\right)$内单调递减，在$\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$内单调递增，

故当$x=\frac{1}{2}$时，$F(x)$取得最小值，此时$y=2$，最小值为$F\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^2\mathrm{e}^2=\frac{\mathrm{e}^2}{4}$．

故答案为：$\frac{\mathrm{e}^2}{4}$.