25~26高三下·山东名校考试联盟·第8题

$4$

已知正四面体$ABCD$的外接球为球$O$，因为其棱长为$\sqrt{6}$，

所以该正四面体的高为$h = 2$，球$O$的半径为$\dfrac{3}{2}$.

由对称性不妨令球$O$上一点$E$在面$BCD$下方时取到最大，

所以$V_{E-ABC} + V_{E-ABD} + V_{E-ACD} – V_{E-BCD} = V_{A-BCD}$，

所以$d_{E-ABC} + d_{E-ABD} + d_{E-ACD} – d_{E-BCD} = h = 2$，

则$d_{E-ABC} + d_{E-ABD} + d_{E-ACD} = 2 + d_{E-BCD}$，

所以$d_{E-ABC} + d_{E-ABD} + d_{E-ACD} + d_{E-BCD} = 2 + 2d_{E-BCD}$，

则距离和的最大值为$(2 + 2d_{E-BCD})_{\max}$.

所以$(2 + 2d_{E-BCD})_{\max} = 2 + 2 = 4$，所以和的最大值为$4$.

故答案为：$4$.