已知定义域为$\mathbb{R}$的函数$f(x)$满足$f(x+3) = f(-1-x)$,且$f(2x-1)$为奇函数,则一定有( )
A.$f(0)=0$
B.$f(2)=0$
C.$f(3)=0$
D.$f(4)=0$
复合函数奇偶性破局,抽象函数零点拆解!

C
由函数$f(x)$满足$f(x+3) = f(-1-x)$,
可得$f(x)$关于$x=1$对称,即$f(x+2) = f(-x)$.
因为函数$f(2x-1)$为奇函数,
可得$f(-2x-1) + f(2x-1) = 0$,
即$f(-x-1) + f(x-1) = 0$,
可得$f(-x) + f(x-2) = 0$,
即$f(-x) = -f(x-2)$.
令$x=1$,可得$f(-1) = -f(-1)$,所以$f(-1) = 0$.
又因为
$
\begin{cases}
f(x+2) = f(-x) \
f(-x) = -f(x-2)
\end{cases}
$,
可得$f(x+2) = -f(x-2)$,
所以$f(x+4) = -f(x)$,
可得$f(x+8) = -f(x+4) = f(x)$,
所以$f(x)$的周期为$8$.
因为$f(x+4) = -f(x)$,
可得$f(3) = -f(-1) = 0$,
所以一定有$f(3)=0$.
对于$f(0),f(2),f(4)$的值无法确定.
故选:C.
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THE END



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