25~26高三下·陕西师大附中模拟·第14题

$\dfrac{2\sqrt{3}-3}{2}$

当小球的半径最大，设为$r$时，$8$个角上的球都与正方体的$3$个面相切，且它们均与中间的$1$个球相切，
由正方体和球的对称性可知，这些球心在正方体的对角线上.

方法一：几何法
设对角面$BDD_1B_1$上$5$个球的球心分别为$O_1,O_3,O_5,O_7,O_9$，作出对角面$BDD_1B_1$，如图.

则球$O_7$与$B_1D_1$的交点$E$，即为球$O_7$与底面$A_1B_1C_1D_1$的切点，
所以$O_7E \perp B_1D_1$，所以$O_7E \parallel DD_1$，
所以$\dfrac{O_7E}{DD_1} = \dfrac{B_1O_7}{B_1D}$，
因为正方体的棱长为$1$，所以$B_1D = \sqrt{3}$，
所以$\dfrac{r}{1} = \dfrac{B_1O_7}{\sqrt{3}}$，解得$B_1O_7 = \sqrt{3}r$，同理$O_1D = \sqrt{3}r$.

又$B_1D = B_1O_7 + O_7O_9 + O_9O_1 + O_1D$，即$\sqrt{3} = 4r + 2\sqrt{3}r$，
解得$r = \dfrac{\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}-3}{2}$.

方法二：坐标法
以$A$为原点，分别以$AB,AD,AA_1$为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系：

设角$A$处小球的球心为$O_1$，中间小球的球心为$O_2$，则$O_1(r,r,r)$，$O_2\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$，
由球$O_1$与球$O_2$相切可知$O_1O_2 = 2r$，即$\sqrt{3\left(r – \dfrac{1}{2}\right)^2} = 2r$，
解得$r = \dfrac{2\sqrt{3}-3}{2}$.