25~26高三下·南昌一模·第14题

$\dfrac{61}{1296}$

步骤1：状态定义

设A盒中黑球数为状态：

• 状态3：3黑3红（初始状态）
• 状态2：2黑4红
• 状态1：1黑5红
• 状态0：0黑6红（终止，全红）

定义概率：

• $P_n$：从状态3出发，$n$次操作后首次全红的概率
• $Q_n$：从状态2出发，$n$次操作后首次全红的概率
• $R_n$：从状态1出发，$n$次操作后首次全红的概率

步骤2：递推关系推导

1. 状态1 → 状态0
   从状态1（1黑5红）：

• 取红球：概率$\frac{5}{6}$，状态不变
• 取黑球：概率$\frac{1}{6}$，变为全红
  要首次在$n$次操作后全红，需前$n-1$次都取红球，第$n$次取黑球：
  $$R_n = \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{6}, \quad n \ge 1$$

1. 状态2 → 状态0
   从状态2（2黑4红）：

• 取红球：概率$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$，状态不变
• 取黑球：概率$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$，变为状态1
  首次在$n+1$次操作后全红的递推：
  $$Q_{n+1} = \frac{2}{3}Q_n + \frac{1}{3}R_n, \quad Q_1 = 0$$

1. 状态3 → 状态0
   从状态3（3黑3红）：

• 取红球：概率$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$，状态不变
• 取黑球：概率$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$，变为状态2
  首次在$n+1$次操作后全红的递推：
  $$P_{n+1} = \frac{1}{2}P_n + \frac{1}{2}Q_n$$
  变形得核心差值式：
  $$P_{n+1} – \frac{1}{2}P_n = \frac{1}{2}Q_n$$

步骤3：求解$Q_n$与差值通项

将$R_n$代入$Q_{n+1}$的递推，结合初始条件求解，最终得到：
$$\frac{1}{2}Q_n = \frac{1}{6}\left[\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} – \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right]$$

因此，差值的通项为：
$$P_{n+1} – \frac{1}{2}P_n = \frac{1}{6}\left[\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} – \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right]$$

步骤4：计算$P_5 – \frac{1}{2}P_4$

令$n+1 = 5$（即$n=4$），代入通项：
$$
\begin{align} P_5 – \frac{1}{2}P_4 &= \frac{1}{6}\left[\left(\frac{5}{6}\right)^{3} – \left(\frac{2}{3}\right)^{3}\right] \ &= \frac{1}{6}\left(\frac{125}{216} – \frac{64}{216}\right) \ &= \frac{1}{6} \cdot \frac{61}{216} \ &= \frac{61}{1296} \end{align}
$$