25~26高三上·广东一模·第14题

$\boldsymbol{2}$

🔍 核心思路（光学性质+中位线）

1. 椭圆光学性质：切线 $ l $ 是焦点夹角的外角平分线，焦点关于切线的对称点必在另一焦点与切点的连线上，且对称点到另一焦点的距离为 $ 2a $.
2. 中位线定理：垂足是焦点与对称点连线的中点，结合原点是两焦点中点，可直接得到 $ |OH_1|=|OH_2|=a $.
3. 面积计算：由 $ OH_1 \perp OH_2 $，用直角三角形面积公式快速求解.

✅ 规范解答

步骤1：椭圆基本参数

椭圆 $ C: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1 $，则 $ a=2 $，$ c=\sqrt{3} $，焦点 $ F_1(-\sqrt{3},0) $、$ F_2(\sqrt{3},0) $，$ O $ 为 $ F_1F_2 $ 中点.

步骤2：光学性质与对称点

由椭圆光学性质，切线 $ l $ 是 $ \angle F_1PF_2 $ 的外角平分线（$ P $ 为切点）：

• 作 $ F_1 $ 关于 $ l $ 的对称点 $ F_1′ $，则 $ l $ 垂直平分 $ F_1F_1′ $，且 $ F_1′ $ 在直线 $ F_2P $ 上，故 $ |F_1’F_2| = |F_1P| + |PF_2| = 2a = 4 $.
• 因 $ F_1H_1 \perp l $，所以 $ H_1 $ 是 $ F_1F_1′ $ 的中点.

步骤3：中位线定理求边长

在 $ \triangle F_1F_1’F_2 $ 中，$ O $ 是 $ F_1F_2 $ 中点，$ H_1 $ 是 $ F_1F_1′ $ 中点，由三角形中位线定理：
$$
|OH_1| = \frac{1}{2}|F_1’F_2| = a = 2
$$
同理，作 $ F_2 $ 关于 $ l $ 的对称点 $ F_2′ $，可得 $ |OH_2| = a = 2 $.

步骤4：计算面积

由 $ OH_1 \perp OH_2 $，知 $ \triangle OH_1H_2 $ 为直角三角形，
$
S_{\triangle OH_1H_2} = \frac{1}{2} \cdot |OH_1| \cdot |OH_2| = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2
$

故答案为：$\boldsymbol{2}$

💡 方法点睛

• 优势：相比代数法联立方程，光学性质法更简洁直观，避免了复杂计算，直接利用几何性质得到边长.
• 关键：记住「焦点关于切线的对称点到另一焦点距离为 $ 2a $」，结合中位线定理，是解决此类椭圆切线与焦点垂线问题的通法.